Modüler Aritmetik

MODÜLER ARİTMETİK

a, b, m birer tam sayı ve m > 1 olmak üzere, tam sayılar kümesi üzerinde tanımlanan,

b = {(a, b) : m, (a – b) yi tam böler}

bir denklik bağıntısıdır.

b denklik bağıntısı olduğundan

Her (a, b) Î b için,

a º b (mod m)

biçiminde yazılır ve m modülüne göre a sayısı b ye denktir denir.

Tam sayıların m sayma sayısı ile bölünmesiyle elde edilen kalanlar, 0, 1, 2, 3, 4, ... , (m – 1) dir.

Her tam sayı m ile bölündüğünde hangi kalanı veriyorsa o kalana denktir. Bu kalanların her biri, belirlediği denklik sınıfının temsilci elemanı olarak alınırsa, denklik sınıfları

Bu denklik sınıflarının kümesine m nin kalan sınıflarının kümesi denir ve biçiminde gösterilir.

Buna göre,

Ü	n bir sayma sayısı ve k bir tam sayı ve a º b (mod m) c º d (mod m) olmak üzere,

a + c º b + d (mod m)
a – c º b – d (mod m)
a × c º b × d (mod m)
aⁿ º bⁿ (mod m)
a – b º 0 (mod m)
k × a º k × b (mod m) dir.
n sayma sayısı; a, b, m sayılarının ortak böleni ise dir.
a ile m ve b ile m aralarında asal olmak üzere, dir.

deki işlemler (mod m) ye göre yapılır.

Ü x, m nin tam katı olmayan pozitif bir tam sayı ve m bir asal sayı ise,

x^m–1 º 1 (mod m) dir.

x in (m – 1) den daha küçük kuvvetinde de 1 bulunabilir.

x ile m aralarında asal sayılar olmak üzere, m nin asal çarpanlarının kuvvetleri biçiminde yazılmış hâli m = a^k . b ^r . c ^p olmak üzere,

m asal sayı ise,

(m – 1)! + 1º 0 (mod m) dir.